Глава 4. Влияние силы всемирного тяготения на расширение Вселенной

§4.4. Фридмановские модели Вселенной: геометрия

Расширение Вселенной в настоящее время интерпретируется не как движение галактик в пространстве, а как расширение самого пространства, к которому галактики как бы "приклеены". Дело в том, что пространство, согласно общей теории относительности А.Эйнштейна (ОТО), это не ничто, лишенное каких-либо качеств; у пространства как такового есть свои свойства. Главное из этих свойств — так называемая кривизна. В космологии используется два понятия: кривизна пространства-времени и кривизна пространства. Согласно общей теории относительности, кривизна пространства-времени обусловлена материей, и радиус кривизны пространства-времени тем больше, чем выше плотность. В отличие от кривизны пространства-времени, кривизна пространства может быть нулевой. По определению, ненулевая кривизна пространства означает, что в нем не выполняются некоторые аксиомы и теоремы евклидовой геометрии. Например, в искривленном пространстве сумма углов треугольника не равна 180°, отношение длины окружности к ее радиусу не равно 2π, сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника не равна квадрату гипотенузы, и т.д. Отклонение свойств пространства от евклидового (плоского) характеризуется величиной, называемой "радиусом кривизны пространства” (R). Чем больше эта величина, тем меньше кривизна, тем ближе свойства пространства к евклидовому, тем менее оно искривлено. Радиус кривизны пространства меняется пропорционально масштабному фактору. Радиус кривизны евклидова пространства формально равен бесконечности.

Согласно ОТО, кривизна пространства обусловлена наличием материи. Чем больше плотность материи, тем больше кривизна (т.е. радиус кривизны меньше). Основное утверждение ОТО можно сформулировать так: материя говорит пространству, как ему искривляться, пространство говорит материи, как ей двигаться. Пространство и материя — это как бы единая субстанция; галактики “прикреплены” к пространству Вселенной, пространство “прикреплено” к галактикам. По этой причине радиус кривизны пространства меняется по такому же закону, как расстояние между галактиками в расширяющейся Вселенной.

Модели Фридмана различаются между собой не только поведением во времени, но и геометрическими свойствами пространства. Только лишь в модели II (Ω=1) оно "плоское", описывается геометрией Евклида. В модели I пространство Вселенной подчиняется геометрии Лобачевского. Такое пространство называется пространством постоянной отрицательной кривизны. В нем через каждую точку пространства можно провести бесконечное множество прямых, параллельных данной, сумма углов треугольника меньше 180°, отношение длины окружности к радиусу больше 2π. Двумерным аналогом пространства Лобачевского является так называемая псевдосфера — поверхность, каждый элемент которой напоминает по форме седло (рис. 4.4.1, слева). Плоский лист бумаги невозможно расстелить по такой седловидной поверхности без образования многочисленных разрывов. Это связано с тем, что площадь круглого участка псевдосферы больше πR². Аналогично, объем пространства, заключенного внутри шара радиусом r в пространстве Лобачевского, больше объема шара евклидова пространства такого же радиуса.

В модели III (Ω>1) пространство подчиняется сферической геометрии Римана. Оно называется пространством постоянной положительной кривизны. Двумерным аналогом его является сфера (рис. 4.4.1, справа). В пространстве такого типа, по сравнению с пространством Лобачевского, все наоборот: вообще нет параллельных прямых (любые две прямые пересекаются), сумма углов треугольника больше 180°, отношение длины окружности к радиусу меньше 2π. На сфере невозможно равномерно расстелить лист бумаги — неизбежно образуются складки. Это говорит о том, что площадь круга радиуса r на сфере (радиус определяется как длина нити, натянутой по поверхности) меньше площади круга такого же радиуса на плоскости. Значит, объем шара в пространстве постоянной положительной кривизны меньше шарового объема такого же радиуса в евклидовом пространстве.

У сферы есть одно замечательное свойство — она имеет конечную площадь. Вместе с тем, сфера безгранична, т.е. двигаясь по ней, мы никогда не наткнемся на какую-либо границу, но в конечном итоге придем в ту же точку, из которой вышли, с противоположной стороны (что экспедиция Магеллана доказала в 1522 году экспериментальным путем). Все направления на сфере равноправны, так что можно сказать, что на сфере выполняется космологический принцип. Совершенно аналогично этому, пространство постоянной положительной кривизны имеет конечный объем, оно замкнуто (в отличие от пространства Евклида или Лобачевского, являющихся бесконечными, открытыми). Как и на сфере, в нем выполняется космологический принцип, т.е. оно безгранично. Безгранично, но не бесконечно, — вряд ли можно себе представить что-либо более парадоксальное, но ни логика, ни математика не видят здесь никакого противоречия, что доказывает пример с двумерной сферой.

И еще один симпатичный парадокс. Поскольку в замкнутой Вселенной помещается только конечное (хотя, разумеется, очень большое) количество галактик, можно сосчитать ее полную массу. Эта масса оказывается равной... нулю! Это второе удивительное свойство этой модели. Равенство нулю полной массы Вселенной с плотностью выше критической можно понять с помощью следующего рассуждения. Полная масса любой материальной системы всегда меньше сумм масс составляющей ее частей. Это явление связано с тем, что энергия взаимодействия, связывающего части системы воедино, отрицательна, а масса, согласно знаменитой формуле Эйнштейна E=mc² (где E — энергия, m — масса, c — скорость света) пропорциональна энергии. Разность между массой системы и суммой масс ее частей носит название дефекта массы. Впервые дефект массы был обнаружен в атомных ядрах, где он не превосходит нескольких процентов (но именно благодаря этим процентам в недрах звезд идут термоядерные реакции). Если Вселенная замкнута, то ее дефект массы равен 100%, т.е. энергия гравитационного взаимодействия всех помещающихся в ней тел в точности равна (с обратным знаком) внутренней энергии всего, что находится во Вселенной.