Глава 4. Влияние силы всемирного тяготения на расширение Вселенной

§4.3. Фридмановские модели Вселенной: динамика

Для того, чтобы понять, как расширение Вселенной будет происходить в далеком будущем, рассмотрим следующий пример. С поверхности планеты радиуса r и массы M запущена ракета с начальной скоростью v. Притяжение к планете тормозит движение ракеты. Если скорость ракеты меньше скорости убегания (второй космической скорости), равной

,

(4.2)

то в некоторый момент времени сила тяготения остановит ракету, после чего она начнет движение в обратном направлении (уже с возрастающей скоростью) и в конце концов упадет на планету. Если начальная скорость ракеты больше или равна скорости убегания, то сила тяготения не сможет остановить ракету, и она будет вечно удаляться от планеты. Различие между случаями v=v_уб и v>v_уб заключается в том, что в первом из них скорость ракеты в бесконечности будет стремиться к нулю, тогда как во втором — к некоторой ненулевой величине. Заметим, что чем больше радиус и чем меньше масса планеты, тем легче ракете при данной начальной скорости преодолеть силу притяжения.

Теперь вернемся к примеру с шаровой областью вещества во Вселенной, рассмотренному в предыдущем разделе. Этот шар является типичной областью пространства, и по его поведению можно судить о поведении Вселенной в целом. Тогда какая-нибудь галактика, находящаяся на границе шара, будет аналогом ракеты, а шар как целое — планеты (напомним, что вещество вне шара не оказывает влияния на движение внутри него). Падению ракеты соответствует сжатие шара, удалению ракеты — его расширение. Представим себе, что в начальный момент времени эта шаровая область расширяется, т.е. галактики, находящиеся на краю шара, удаляются от его центра. Масса всего шара радиуса r есть M=(4/3)πρr³, а скорость удаления галактики определяется по закону Хаббла v=Hr. Подставляя эти величины в формулу (4.2), получаем, что скорости убегания соответствует критическое значения плотности

.

(4.3)

При постоянной Хаббла H=65 км/(с·Мпк) критическая плотность равна 0.8·10^-29 г/см³.

Отношение средней плотности к критической обозначается Ω. При Ω<1 расширение шара (а стало быть, и всей Вселенной) будет вечным, причем скорости галактик никогда не будут стремиться к нулю (модель I на рис. 4.3.1), при Ω=1 расширение будет вечным, но в бесконечности его скорость будет стремиться к нулю (модель II) и, наконец, при Ω>1 расширение Вселенной неизбежно должно остановиться и смениться сжатием (коллапсом), и через некоторое время Вселенная обратно сожмется в точку (сингулярность) (модель III); это событие обычно называется “Большой Хруст”. По имени их первооткрывателя эти модели носят название моделей Фридмана.

Необходимо добавить, что модель II — это единственная модель Вселенной, в которой зависимость масштабного фактора a от времени t можно выразить в элементарных функциях:

a=(t/t0)3/2,

где t₀ — нынешний момент времени. Все остальные модели для своего полного описания требуют специальных функций.